Menge
Eine Menge ist dadurch bestimmt, daß festgelegt ist, welche Werte „Elemente“ der Menge sind. Ein Wert ist entweder „Element der Menge“ oder er ist „nicht Element der Menge“. Ein Wert kann aber nicht etwa „mehrfach“ in einer Menge sein.
Ist jedes Element einer Menge A auch Element der Menge B, dann sagt man die Menge A sei Teilmenge der Menge B. Beispielsweise ist die Menge der geraden Zahlen Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen. Man überzeuge sich davon, daß jede Menge Teilmenge von sich selbst ist.
Ist die Menge A Teilmenge der Menge B und die Menge B Teilmenge der Menge A, dann ist jedes Element der einen Menge auch Element der anderen und die beiden Mengen gleich.
In der aufzählenden Mengenschreibweise schreibt man die Namen aller Werte einer Menge durch Kommas getrennt in geschweifte Klammern.
{ 1, 2, 5, 8, 9 }
Übungsfrage Wie viele Elemente hat eine Menge, die alle Elemente der Menge { 1, 2, 3 } und der Menge { 3, 4, 5 } enthält?
Die Anzahl der Elemente einer Menge ist die Mächtigkeit der Menge. Die Menge { 1, { 2, 3, 4 }, 5 } wird üblicherweise als eine Menge mit drei Elementen aufgefaßt, obwohl man darin auch eine Menge mit fünf oder sechs Elementen sehen könnte, wenn man die Elemente der inneren Menge berücksichtigt. Doch bei der Ermittlung der Mächtigkeit zählen zunächst nur die direkt in einer Menge enthaltenen Elemente, ohne daß deren Elemente auch noch berücksichtigt werden.
Obwohl man bei der Klammernschreibweise eine bestimmte Reihenfolge der Elemente verwenden muß, ist keine bestimmte Reihenfolge der Werte in einer Menge festgelegt. Daher sind die Menge { 1, 2, 3 } und die Menge { 3, 1, 2 } einander gleich.
Beispielsweise kann man von der Menge der „Kontinente der Erde im 20. Jahrhundert“ sprechen. Es ist aber nicht klar, welcher Kontinent mit „der zweite Kontinent dieser Menge“ gemeint ist. Eine bestimmte Reihenfolge ist also nicht gegeben.
Übungsfrage Wie viele verschiedene Arten der Anordnung der Wertnamen in den geschweiften Klammern gibt es bei der Menge { 1, 2, 3 }?
„Die Vornamen“ stellen keine Menge dar. Es ist nämlich nicht immer klar, ob ein bestimmtes Wort als Vorname gilt oder nicht (es gibt Grenzfälle). Das kann man auch daran erkennen, daß es nicht klar ist, wie viele Vornamen es gibt. Für eine Menge muß es ohne Zweifel festgelegt sein, welche Elemente sie hat.
Eine Menge kann auch gar keine Elemente haben, sie ist dadurch dann eindeutig bestimmt und man nennt sie die „leere Menge.“
{ }
In der Informatik wichtig sind die Textmengen, bei denen nicht die durch einen Text benannten Werte sondern die Texte selber Elemente einer Menge sind. Um das klarzustellen, kann man die Texte in Anführungszeichen schreiben.
{ "0", "Eins" }
Diese Menge enthält dann nicht die Zahl 0 und die Zahl 1 sondern den Text "0" und den Text "Eins".
Einige Mengen sind so prominent, daß man ihnen Eigennamen gegeben hat.
ℕ ist die Menge der natürlichen Zahlen { 0, 1, 2, 3, 4, … }.
ℤ ist die Menge der ganzen Zahlen { 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, …}
ℚ ist die Menge der rationalen Zahlen { 0, 1/2, −1/2, 1/3, −1/3, 1, −1, 3/2, −3/2, 2/3, −3/4, 1/4, −1/4, … }
ℝ ist die reellen Zahlen.
ℂ ist die Menge der komplexen Zahlen.
Die Eigenschaften einer Menge sind nicht notwendigerweise auch Eigenschaften ihrer Elemente und umgekehrt. So hat die Menge {{ 1, 2 }} beispielsweise die Mächtigkeit Eins, während ihr Element { 1, 2 } die Mächtigkeit Zwei hat.